Tôi dường như không thể tìm ra cách cập nhật thời gian đăng nhập cuối cùng của mình

Trong truy vấn của bạn ở đây:

UPDATE users_table SET 'date_last_inlog' = NOW() WHERE user_name  = '$user_name'

Thử xóa các dấu ngoặc kép xung quanh date_last_inlog hoặc thay đổi chúng thành dấu gạch ngược:

UPDATE users_table SET date_last_inlog = NOW() WHERE user_name  = '$user_name'

Ngoài ra, không sử dụng mysql_* các chức năng, sử dụng mysqli hoặc PDO thay vì. Mã của bạn dễ bị SQL Injection.