$query = mysql_query("UPDATE article set com_count = $comments_count WHERE article_id = $art_id");
Bạn đã làm lộn xộn các dấu ngoặc kép và nối.
Bạn có thể sử dụng các vars nội dòng như ví dụ trước hoặc nối chúng như:
$query = mysql_query("UPDATE article set com_count = " . $comments_count . " WHERE article_id = " . $art_id);