Bạn phải sử dụng GROUP BY nếu bạn muốn sử dụng COUNT(*) , nhưng bạn có thể lấy số hàng bằng mysql_num_rows() như thế này.
$result=mysql_query("SELECT * AS Result FROM users WHERE user_name='$user_name' AND pass='$password_hash' LIMIT 1") or die(mysql_error());
$num_rows = mysql_num_rows($result);